zkevm-docs/8-arithmetic.markdown

@@ -75,7 +75,7 @@ a + b = c + overflow * 2^256`，且 `c` 的 `hi` 和 `lo` 被约束为8个16-bit
 | 1    | c_hi    | c_lo    | carry_hi | carry_lo | c_lo_u16s |
 | 0    | a_hi    | a_lo    | b_hi     | b_lo     | c_hi_u16s |
 
-## Sub
+## 3.2 Sub
 
 ### 公式
 
@@ -98,7 +98,7 @@ a + b = c + overflow * 2^256`，且 `c` 的 `hi` 和 `lo` 被约束为8个16-bit
 | 1    | c_hi    | c_lo    | carry_hi | carry_lo | c_lo_u16s |
 | 0    | a_hi    | a_lo    | b_hi     | b_lo     | c_hi_u16s |
 
-## Div_Mod
+## 3.3 Div_Mod
 
 ### 公式
 
@@ -149,7 +149,7 @@ a * b + c = d
 | DivMod | 1    | c     | c     | d    | d    | u16_sum_for_b_lo    |
 | DivMod | 0    | a     | a     | b    | b    | u16_sum_for_b_hi    |
 
-## Mul
+## 3.4 Mul
 
 ### 公式
 
@@ -208,7 +208,7 @@ a * b + c = d
 | 1    | c_hi    | c_lo    | carry_hi | carry_lo | a_lo_u16s     |
 | 0    | a_hi    | a_lo    | b_hi     | b_lo     | a_hi_u16s     |
 
-## SLT_SGT
+## 3.5 SLT_SGT
 
 ### 公式
 
@@ -250,7 +250,7 @@ a * b + c = d
 | 1    | c    | c    | carry | carry | u16_sum_for_c_lo |       |           |           |
 | 0    | a    | a    | b     | b     | u16_sum_for_c_hi |       |           |           |
 
-## Sdiv_Smod
+## 3.6 Sdiv_Smod
 
 在 `Sdiv_Smod`（有符号除法和取余）中，我们处理有符号整数的除法和取余，以下是核心约束：
 
@@ -312,7 +312,7 @@ a * b + c = d
 为了保证mul乘法的有效当b==0时，我们设置d==a.(d是余数,b是除数)。但是在eth中计算取余时有b==0时，我们设置d==0.所以在core circuit部分我们需要增加b=0时d==0
   ```
 
-### Layout
+###  Layout
 
 (因为a,b 都是输入不需要进行范围约束，但是因为我们需要判断a,b的符号，所以只需要对a_hi,b_hi进行范围约束。因为c,d 属于非输入值，并且我们要计算c + c_com = 1<<256。
 所以我们需要对c,d进行范围约束)
@@ -339,7 +339,7 @@ a * b + c = d
 | c_hi                   | c_lo           | d_hi           | d_lo           | 1    | a_com_lo_0     |        |        |        |            |
 | a_hi                   | a_lo           | b_hi           | d_lo           | 0    | a_com_hi_0     |        |        |        |            |
 
-## AddMod
+## 3.7 AddMod
 
 ### 公式
 
@@ -387,7 +387,7 @@ a + b   = n * q + r （式2）
 | a_hi              | a_lo              | b_hi        | b_lo        | 0   | r_hi        |
 
 
-## MulMod
+## 3.8 MulMod
 
 ### 核心公式
 
@@ -469,28 +469,35 @@ a + b   = n * q + r （式2）
 | 1    | n_hi                | n_lo                | r_hi           | r_lo           | k1_lo_u16s               |
 | 0    | a_hi                | a_lo                | b_hi           | b_lo           | k1_hi_u16s               |
 
-## Length 
+## 3.9 Length 
 
 ### length  电路功能：
 
-输入 offset, length, size
+输入参数：
 
-返回 real\_len, zero\_len, overflow, _real\_len\_is\_zero, zero\_len\_is\_zero(？待定)_
+- `offset`：偏移量
+- `length`：长度
+- `size`：总大小
 
-*   offset，length，size，需要 u64\_overflow 约束
-    
-*   判断 offset + length > size
-    
-*   三种情况_(不管length是否为0)_，需要返回    **return (real\_len, zero\_len)**：                   
-    
+返回值：
 
-1.  offset + length <= size，                    **return (length,  0)**
-    
-2.  offset + length > size，分为两种情况：
-    
-    1.  offset < size ，                            **return (size - offset, offset + length - size)**
-        
-    2.  offset >= size,                             **return (0, length).**
+- `real_len`：实际长度
+- `zero_len`：超出长度
+- `overflow`：是否溢出
+- `_real_len_is_zero`：实际长度是否为零
+- `_zero_len_is_zero`：超出长度是否为零（待定）
+
+约束条件：
+
+- `offset`、`length`、`size`需要符合 `u64_overflow` 约束。
+
+逻辑判断：
+
+- 如果 `offset + length <= size`，返回 `(length, 0)`。
+
+- 如果 `offset + length > size`，分为两种情况：
+  - 如果 `offset < size`，返回 `(size - offset, offset + length - size)`。
+  - 如果 `offset >= size`，返回 `(0, length)`。
 
 ### arithmetic中的布局: 
 
@@ -503,48 +510,35 @@ a + b   = n * q + r （式2）
 
 ### 约束
 
-1.  **operand 和 u16s 大小相等**
-    
-    1.  offset, size, length
-        
-    2.  offset\_bound = offset + length
-        
+**operand 和 u16s 大小相等**
 
-2.  **约束 size 是否小于 offset\_bound**
-    
-    1.  使用 SimpleLtGadget::new(size, offset\_bound, overflow, diff)，range 设置为2^64
-        
-    2.  overflow is bool
-        
+- `offset`, `length`, `size`
+- `offset_bound = offset + length`
 
-3.  **约束 offset 是否小于 size**
-    
-    1.  使用 SimpleLtGadget::new(offset, size, lt\_offset\_size, diff\_offset\_size)，range 设置为2^64
-        
-    2.  lt\_offset\_size is bool
-        
+**约束 size 是否小于 offset_bound**
 
-4.  **三种情况下 (real\_len, zero\_len) 的约束：**            
+- 使用 `SimpleLtGadget::new(size, offset_bound, overflow, diff)`，`range` 设置为 2^64
+- `overflow` 为布尔值
 
-**参考上文，使用overflow 和  lt\_offset\_size 作为 selector，那么公式为：**
+**约束 offset 是否小于 size**
 
-1.  real\_len = (1-overflow) \* length 
-    
+- 使用 `SimpleLtGadget::new(offset, size, lt_offset_size, diff_offset_size)`，`range` 设置为 2^64
+- `lt_offset_size` 为布尔值
 
-+ overflow \*  lt\_offset\_size \* (size - offset)
+**三种情况下 (real_len, zero_len) 的约束**
 
-2.  zero\_len = overflow \* lt\_offset\_size \* (offset\_bound - size)
-    
+- 使用 `overflow` 和 `lt_offset_size` 作为 `selector`，公式如下：
 
-+ overflow \* (1 - lt\_offset\_size) \* length
+​	`real_len = (1 - overflow) * length + overflow * lt_offset_size * (size - offset)`
 
-5.  **约束 real\_len\_is\_zero, zero\_len\_is\_zero**
-    
-    1.  SimpleIsZero（real\_len，real\_len\_inv）
-        
-    2.  SimpleIsZero（zero\_len，zero\_len\_inv）
+​	`zero_len = overflow * lt_offset_size * (offset_bound - size) + overflow * (1 - lt_offset_size) * length`
+
+**约束 real_len_is_zero 和 zero_len_is_zero**
+
+- 使用 `SimpleIsZero(real_len, real_len_inv)`
+- 使用 `SimpleIsZero(zero_len, zero_len_inv)`
 
-## memory expansion
+## 3.10 memory expansion
 
 memory expansion 电路的功能是给定offset\_bound，计算是否需要拓展内存。
 
@@ -603,7 +597,7 @@ offset\_bound 的代表的是访问内存段的**右区间**：
 
 **offset\_bound = (offset + length) \* length \* length\_inv**
 
-## U64Overflow
+## 3.11 U64Overflow
 
 ### 公式
 
@@ -627,7 +621,7 @@ w=a_hi×2^64+a_lo
 | ---- | ------- | ------- | ------- | ------- | --------- |
 | 0    | a_hi    | a_lo    | w       | w_inv   | a_lo_u16s |
 
-# 实现 arithmetic 子电路中 Add 例子
+# 4 实现 arithmetic 子电路中 Add 例子
 
 如果我们希望为某一个 tag 实现它的约束，我们需要实现 OperationGadget trait，然后在 config 方法中实现相应 tag 的约束就好。具体如下所示